大一数学证明题

题目

大一数学证明题
f（x）在[a,b]上连续 ,若在[a,b]上f（x）≥0,且f（x）dx积分在[a,b]上为零,则在[a,b]上f（x）恒为零

答案

反证
假设在【a,b】区间内某个部位c处不为0,即f（c）>0,f(x)连续,则在区间【c-dx,c+dx】内f（x）＞0
f（x）在区间【c-dx,c+dx】内积分,f（x）＞0,乘以2dx,也大于0,与题中积分为0相悖,故假设不成立,在[a,b]上f（x）恒为零