大一线性代数证明题

题目

大一线性代数证明题
两个非零向量线性相关的充要条件是两向量的各个分量对应成比例

答案

证:必要性.设 a1,a2 线性相关,则存在不全为0的数 k1,k2 使 k1a1+k2a2 = 0
不妨设k1 != 0 (不等于0).则 a1 = (k2/k1)a2,所以a1,a2 对应的分量成比例.
充分性.设 a1,a2 的各个分量对应成比例,则 a1 = k a2.即有 1a1 - ka2 = 0.
即有不全为零的数 1,k 使得 1a1 - ka2 = 0.所以 a1,a2 线性相关.