希望各位解答……最好有具体步骤……

题目

希望各位解答……最好有具体步骤……
已知p,q都是质数,且使得关于x的一元二次方程x^2－(8p－10q)x＋5pq=0至少有一个正整数根,求所有的整数对（p,q).

答案

根据维达定理
x1+x2=8p-10q ,
x1*x2=5pq ,
质数都是正整数
所以5pq肯定是正整数 ,
有一根是正整数
x1 x2肯定都是正整数
可以知道有几种可能
x1=5 x2=pq,
x1=5p x2=q,
x1=5q x2=p,
x1=1,x2=5pq,
将x1,x2代入
x1+x2=8p-10q,
5+pq=8p-10q,(1)
p(q-8)+10(q-8)+80+5=0,
(q-8)(p+10)=-85=-5*17,=-1*85
q=3,p=7,或q=7,p=74(舍去)
5p+q=8p-10q,11q=3p,(2)
p=11,q=3,
5q+p=8p-10q,15q=7p,(3)
p=15,q=7(舍去)
5pq+1=8p-10q,(4)
5q（p+2）-8(p+2)-16+1=0,
(p+2)(5q-8)=15,=15*1=3*5=5*3
p=13,q=9/5或p=1,q=13/5或p=3,q=11/3
(全部舍去)
最后p=11,q=3
或p=7,q=3