数列｛an}中,a1=2,an+1=an+cn(c是常数,n=1,2,3...),且a1,a2a3成公比不为1的等比数列

题目

数列｛an}中,a1=2,an+1=an+cn(c是常数,n=1,2,3...),且a1,a2a3成公比不为1的等比数列
（1）求c的值（2）求｛an｝的通项公式

答案

1
a1=2,a2= a1+c=2+c,a3=a2+2c=2+c+2c=2+3c.
因a1,a2,a3成公比不为1的等比数列,所以a2^2=a1*a3,
即(2+c)^2=2*(2+3c).
整理得：c^2-2c=0,c（c-2）=0.
所以c=0或c=2.
因公比不为1,舍去c=0,于是有c=2.
2
an+1=an+2n
an+1-an=2n
a2-a1=2*1
a3-a2=2*2
…
an-an-1=2*(n-1)
左右两边分别相加：
左边＝an-a1
右边＝2*(1+2+..+n-1)
=n*(n-1)
所以an-a1=n*(n-1)
an= n*(n-1)+2
a1=2也满足an
所以an= n*(n-1)+2