如图,在△ABC中,CD,BE分别是AB,AC边上的中线,延长CD到F,使FD=CD,延长BE到G,使EG=BE,那么AF与AG是否相等?F,A,G三点是否在一条直线上?说明理由.
题目
如图,在△ABC中,CD,BE分别是AB,AC边上的中线,延长CD到F,使FD=CD,延长BE到G,使EG=BE,那么AF与AG是否相等?F,A,G三点是否在一条直线上?说明理由.
答案
AF=AG,F,A,G三点在一条直线上.
理由:∵点D点E分别是AB,AC边上的中点,
∴AD=BD,AE=CE.
在△ADF和△BDC中
,
∴△ADF≌△BDC(SAS),
∴AF=BC,∠FAB=∠ABC.
在△AEG和△CEB中
,
∴△AEG≌△CEB(SAS),
∴AG=CB,∠GAC=∠ACB,
∴AF=AG.
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,
∴∠FAB+∠BAC+∠GAC=180°.
∴F,A,G三点在一条直线上.
根据条件可以得出△ADF≌△BDC,△AEG≌△CEB,就可以得出AF=BC,∠FAB=∠ABC,AG=CB,∠GAC=∠ACB,就可以得出AF=AG,再由∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,就可以得出F,A,G三点在一条直线上.
全等三角形的判定与性质.
本题考查了三角形的中线的性质的运用,三角形内角和定理的运用,全等三角形的判定及性质的运用,解答时证明三角形的全等是关键.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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