设H为△ABC的垂心,O为△ABC的外心,M为BC的中点,求证:AH=2OM

题目

设H为△ABC的垂心,O为△ABC的外心,M为BC的中点,求证:AH=2OM

答案

连接BO并延长至外接圆于点D
连接CD,AD,CH
由于BD是直径
所以CD⊥BC
因为AH⊥BC
所以CD‖AH
因为∠ACH=∠ABH
∠CAD=∠CBD=
90-∠BAC=∠ABH
所以AD‖CH
四边形AHCD为平行四边形
所以2OM=CD=AH