对于函数f(x)定义域中人一个x的值,均有f(x+a)=f(a-x)

题目

对于函数f(x)定义域中人一个x的值,均有f(x+a)=f(a-x)
求证y=f(x)的图像关于x=a对称

答案

若y=f(x)的图像关于x=a对称
则函数上两点横坐标关于x=a对称时,这两点的函数值相等
假设函数上有两点的横坐标是m,n,他们关于x=a对称
则(m+n)/2=a
n=2a-m
因为f(x+a)=f(a-x)
令b=x+a,则x=b-a
所以f(b)=f(a-b+a)=f(2a-b)
所以f(x)=f(2a-x)
所以f(n)=f(2a-n)
所以f(n)=f[2a-(2a-m)]=f(m)
所以A和B关于x=a对称
所以f(x)图像关于x=a对称