在ABC中,角B等于90度,AB=BC,点P在三角形内,且PA:PB:PC=1：2:3.求角APB的度数?

题目

在ABC中,角B等于90度,AB=BC,点P在三角形内,且PA:PB:PC=1：2:3.求角APB的度数?

答案

∵PA:PB:PC=1：2:3,∴设PA=x,PB=2x,PC=3x
把△BPC绕点B逆时针旋转90°,得到△BDA (BC与BA重合),并连接DP,
则△DBP是等腰直角三角形,∠DBP=90°,BD=BP=2x,
根据勾股定理求出DP=2√2x,
在△ADP中,AD=3x,AP=x,DP=2√2x,
∵ (3x)²=(x)²+（2√2x)²
∴AD²=AP²+DP²
根据勾股定理的逆定理可知△ADP为直角三角形,∠APD=90°
∴∠APB=∠APD+∠DPB=90°+45°=135°