求微分方程y″+y=x+cosx的通解．

题目

求微分方程y″+y=x+cosx的通解．

答案

微分方程y″+y=x+cosx对应的齐次微分方程为y''+y=0
特征方程为t²+1=0
解得t₁=i，t₂=-i
故齐次微分方程对应的通解y=C₁cosx+C₂sinx
因此，微分方程y″+y=x+cosx对应的非齐次微分方程的特解可设为y^*=ax+b+x（csinx+dcosx）
y^*'=a+csinx+dcosx+cxcosx-dxsinx
y^*''=ccosx-dsinx+ccosx-cxsinx-dsinx-dxcosx
将y^*，y^*'，y^*''代入微分方程y″+y=x+cosx消去即可得到：
ax+b+2ccosx-2dsinx=x+cosx
则有：

a=1 b=0 2c=1 -2d=0

即

a=1 b=0 c= 1 2 d=0

所以，非齐次微分方程的特解为y*=x+

1

2

xsinx
由于非齐次微分方程的通解=齐次微分方程的通解+非齐次微分方程的特解
所以，微分方程y″+y=x+cosx的通解为y+y*=C1cosx+C2sinx+x+

1

2

xsinx．

首先解齐次微分方程的通解；然后，再解非齐次微分方程的特解，最后将其相加即可得到非齐次微分方程的通解

本题考点：求解微分方程

考点点评：本题考查微分方程的求解．只需牢记非齐次微分方程的通解=齐次微分方程的通解+非齐次微分方程的特解即可．