在Rt△ABC中∠C=90°∠A=30°BC=1两个动点PQ分别从点C出发,点P沿CA点Q沿CB,BA运动两点同时到达点A （1）

题目

在Rt△ABC中∠C=90°∠A=30°BC=1两个动点PQ分别从点C出发,点P沿CA点Q沿CB,BA运动两点同时到达点A （1）
在Rt△ABC中∠C=90°∠A=30°BC=1两个动点PQ分别从点C出发,点P沿CA点Q沿CB,BA运动两点同时到达点A
（1）点Q的速度是点P的速度的多少倍?
（2）设CP=x,△CPQ的面积为S,当Q在BA上运动时,用x的代数式表示S,写出x的取值范围,并求出S的最大值.

答案

由三角形的形状关系与勾股定理,可以算出,AB = 2BC= 2；AC = √(4 - 1) = √3
(1) 由P、Q点同时到达A点可知,
P点的移动距离 L1 = CA = √3
Q点的移动距离 L2 = CB + BA = 1 + 2 = 3
两点同时到达,可以算出其速度比 VQ :VP = L2 :L1 = 3 :√3 = √3 :1
(2) 由P点和Q点的速度比可得P点和Q点在某个时刻的位置,以及两者移动路程的比值
CP = x = L1
由于 L2 :L1 = √3 :1
而此时可以算出Q点的路程 L2 = √3 *L1 = √3 x
本小题中,Q点在BA上,因此 L2 = BC+BQ = 1+BQ
0 ≤ BQ ≤ 2
因此 1 ≤ L2 ≤ 3,即 1 ≤ √3 x ≤ 3
解得 √3/3 ≤ x ≤ √3
△CPQ的面积的高为Q点到AC的垂线（设为QM）,
在Rt△AMQ中,由∠A=30°,可知 QM = 1/2 * AQ
QM = 1/2 * (AB - BQ) = 1/2 * (CB + BA - L2) = 1/2 * (3 - √3 x)
所以,S = 1/2 * CP * QM = 1/2 * x * 1/2 * (3 - √3 x)
整理得：S = (√3)/4 * ( -x² + √3 x),其中 √3/3 ≤ x ≤ √3
计算S的极值时,可用配方法,重新整理S
S = (√3)/4 * [ - (x - √3/2) ² + 3/4]
由于 √3/3 ≤ x ≤ √3
当 x = √3/2时,S达到极大值
此时 S = (√3)/4 * (3/4) = (3√3)/16