反常积分 瑕点选取的问题
题目
反常积分 瑕点选取的问题
∫ (0,1) dx / √x (1-x^2)
为什么不用考虑x=1为瑕点,而考虑x=0为瑕点
x (1-x^2)都在根号里
答案
瑕点定义:当x趋于a时,f(x)趋于无穷或者f(x)无界,则称x=a是瑕积分f(x)的瑕点.
本题中,x趋于1时,√x (1-x^2)趋于0,因此
1/√x (1-x^2)趋于无穷,x=1是瑕点,因此讨论瑕积分的敛散性时需要考虑x=1这一点.
当x趋于1时,1/√x (1-x^2)等价于1/√2(1-x),而1/√2(1-x)的瑕积分收敛.
另外,当x趋于0时,1/√x (1-x^2)等价于1/√x ,因此瑕积分也收敛.
综上,原瑕积分收敛.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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