已知：如图，点D是△ABC的边AC上的一点，过点D作DE⊥AB，DF⊥BC，E、F为垂足，再过点D作DG∥AB，交BC于点G，且DE=DF． （1）求证：DG=BG； （2）求证：BD垂直平分EF．

题目

已知：如图，点D是△ABC的边AC上的一点，过点D作DE⊥AB，DF⊥BC，E、F为垂足，再过点D作DG∥AB，交BC于点G，且DE=DF．
（1）求证：DG=BG；
（2）求证：BD垂直平分EF．

答案

证明：（1）连接BD．
∵DE⊥AB，DF⊥BC且DE=DF，
∴∠ABD=∠DBC，
又∵DG∥AB，
∴∠ABD=∠BDG，
∴∠BDG=∠DBC，
∴DG=BG；
（2）由（1）∠ABD=∠DBC可知，∠EDB=∠FDB，
在△BDE与△BDF中，
∵∠ABD=∠DBC，BD=BD，∠EDB=∠FDB，
∴△BDE≌△BDF，
∴BE=BF，DE=DF，
∴BD垂直平分EF．