等差数列和等比数列的知识点.

题目

等差数列和等比数列的知识点.

答案

等差数列：
公式编辑
通项公式
如果一个等差数列的首项为 ,公差为 ,那么该等差数列第 项的表达式为：
即 第n项=首项 公差
补充：第n项=第m项+（n-m)乘公差
前n项和公式
注意：n是正整数（相当于n个等差中项之和）
等差数列前N项求和,实际就是梯形公式的妙用：
上底为：a1首项,下底为a1+(n-1)d,高为n.
即[a1+a1+(n-1)d]* n/2=a1 n+ n (n-1)d /2.
推论
一.从通项公式可以看出,a(n)是n的一次函数(d≠0)或常数函数(d=0),(n,an)排在一条直线上,由前n项和公式知,S(n)是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0,a1≠0),且常数项为0.
二.从等差数列的定义、通项公式,前n项和公式还可推出：a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=…
=a(k)+a(n-k+1),(类似：p(1)+p(n)=p(2)+p(n-1)=p(3)+p(n-2)=...=p(k)+p(n-k+1)),k∈{1,2,…,n}
三.若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有a(m)+a(n)=a(p)+a(q),S(2n-1)=(2n-1)*a(n),S(2n+1)=
(2n+1)*a(n+1),S(k),S(2k)-S(k),S(3k)-S(2k),…,S(n)*k-S(n-1)*k…或等差数列,等等.
若m+n=2p,则a(m)+a(n)=2*a(p)
(对3的证明：p(m)+p(n)=b(0)+b(1)*m+b(0)+b(1)*n=2*b(0)+b(1)*(m+n)
p(p)+p(q)=b(0)+b(1)*p+b(0)+b(1)*q=2*b(0)+b(1)*(p+q)；因为m+n=p+q,所以p(m)+p(n)=p(p)+p
(q))
四.其他推论
① 和=（首项+末项）×项数÷2
(证明：s(n)=[n,n^2]*[1,1/2;0,1/2]*[b(0);b(1)]=n*b0+1/2*b1*n+1/2*b1*n^2
(p(1)+p(n))*n/2=(b(0)+b(1)+b(0)+b(1)*n)*n/2=n*b0+1/2*b1*n+1/2*b1*n^2=s(n))
证明原理见高斯算法
项数=（末项-首项）÷公差+1
(证明：(p(n)-p(1))/b(1)+1=(b(0)+b(1)*n-(b(0)+b(1)))/b(1)+1=(b(1)*(n-1))/b(1)+1=n-1+1=n)
② 首项=2和÷项数-首项或末项-公差×（项数-1）
③ 末项=2和÷项数-首项
(以上2项为第一个推论的转换)
④ 末项=首项+（项数-1）×公差
(上一项为第二个推论的转换)
推论3证明
若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有a(m)+a(n)=a(p)
+a(q)
如a(m)+a(n)=a(1)+(m-1)*d+a(1)+(n-1)*d
=2*a(1)+(m+n-2)*d
同理得,
a(p)+a(q)=2*a(1)+(p+q-2)*d
又因为
m+n=p+q ;
a(1),d均为常数
所以
若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)
若m,n,p∈N*,且m+n=2p,则有a(m)+a(n)=2a(p)
注：1.常数列不一定成立
2.m,p,q,n属于自然数
⑤2(前2n项和-前n项和)=前n项和+前3n项和-前2n项和
等比数列：
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数,这个数列就叫做等比数列(Geometric Sequences).这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0)且等比数列a1≠ 0.
注：q=1时,
为常数列.
（1）通项公式：
（2）求和公式：
任意两项
,
的关系为
；在运用等比数列的前n和时,一定要注意讨论公比q是否为1.
（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：
（4）等比中项：
若
,那么
为
等比中项.
记πn=a1·a2…an,则有π2n-1=(an)2n-1,π2n+1=(an+1)2n+1
另外,一个各项均为正数的等比数列各项取同底数后构成一个等差数列；反之,以任一个正数C为底,用一个等差数列的各项做指数构造幂Can,则是等比数列.在这个意义下,我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的.
等比中项定义：从第二项起,每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项.
等比中项公式：
或者
.
（5）无穷递缩等比数列各项和公式：
无穷递缩等比数列各项和公式：公比的绝对值小于1的无穷等比数列,当n无限增大时的极限叫做这个无穷等比数列各项的和.
(6)由等比数列组成的新的等比数列的公比：
{an}是公比为q的等比数列
1.若A=a1+a2+……+an
B=an+1+……+a2n
C=a2n+1+……a3n
则,A、B、C构成新的等比数列,公比Q=q^n
2.若A=a1+a4+a7+……+a3n-2
B=a2+a5+a8+……+a3n-1
C=a3+a6+a9+……+a3n
则,A、B、C构成新的等比数列,公比Q=q
2性质编辑
(1)若 m、n、p、q∈N*,且m+n=p+q,则am*an=ap*aq；
(2)在等比数列中,依次每 k项之和仍成等比数列.
(3)“G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”.(4)若{an}是等比数列,公比为q1,{bn}也是等比数列,公比是q2,则
{a2n},{a3n}…是等比数列,公比为q1^2,q1^3…
{can},c是常数,{an*bn},{an/bn}是等比数列,公比为q1,q1q2,q1/q2.
（5）等比数列中,连续的,等长的,间隔相等的片段和为等比.
（6）若（an）为等比数列且各项为正,公比为q,则（log以a为底an的对数）成等差,公差为log以a为底q的对数.
(7) 等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=A1(q^n-1)/(q-1)=(A1q^n)/(q-1)-A1/(q-1)
在等比数列中,首项A1与公比q都不为零.
注意：上述公式中A^n表示A的n次方.
(8)由于首项为a1,公比为q的等比数列的通项公式可以写成an=(a1/q)*q^n,它的指数函数y=a^x有着密切的联系,从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列.