已知函数f(x)=X^2-(2a+1))x+aIn(x)

题目

已知函数f(x)=X^2-(2a+1))x+aIn(x)
(1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间
(2)求函数f(x)在区间〔1,e〕上的最小值
(3)设g(x)=(1-a)x,若存在x0∈〔1/e,e〕,使得f(x0)>=g(x0)成立.求函数a的取值范围.

答案

1)a=1 f=x^2-3x+lnx
f'=2x-3+1/x
f'>=0 (2x^2-3x+1)>0
(2x-1)(x-1)>=0
所以当x>=1 或 0=0.5为减函数
2） f'=2x+a/x-(1+2a)
= 2x^2-(1+2a)x+a/x
=(2x-1)(x-a)/x
e>x>1
2e-1>2x-1>1
下面讨论a的取值范围：
ae 1=a为增函数 x==a(x-lnx)
另g（x）=x-lnx
g'(x)=1-1/x=x-1/x
因为x∈〔1/e,e〕
所以g在〔1/e,e〕的最小值为g（1）=1
所以x-lnx>0
所以(x^2-2x)/(x-lnx)>=a
再令h(x）=(x^2-2x)/(x-lnx)
要保证恒成立,只需求出h的最小值就可以了；
对h进行求导（此处过程省去）,
得出最小值hmin=h（1）=-1
所以a