O为△ABC,三条角分线的交点,过C直线DE垂直AO,交AB于D,交AC于E,证△BOD相似△BOC相似△OEC

题目

O为△ABC,三条角分线的交点,过C直线DE垂直AO,交AB于D,交AC于E,证△BOD相似△BOC相似△OEC

答案

证明：
∵O为△ABC三条角分线的交点
∴AO平分∠BAC,BO平分∠ABC,CO平分∠ACB
∴∠BAO＝∠CAO＝∠BAC/2,∠ABO＝∠CBO＝∠ABC/2,∠ACO＝∠BCO＝∠ACB/2
∴∠BOC＝180-（∠CBO+∠BCO）＝180-（∠ABC+∠ACB）/2＝180-（180-∠BAC）/2＝90+∠BAC/2
∵DE⊥AO
∴∠AOD＝∠AOE＝90
∴∠BDO＝∠AOD+∠BAO＝90+∠BAC/2
∴∠BDO＝∠BOC
∴△BDO∽△BOC
同理可证：∠CEO＝90+∠BAC/2
∴△BOC∽△OEC
∴△BDO∽△BOC∽△OEC