如图，△ABC三内角平分线交于点O，过点O引DE⊥AO，分别交AB、AC于点D、E．求证：△BOD∽△BCO∽△OCE．

题目

如图，△ABC三内角平分线交于点O，过点O引DE⊥AO，分别交AB、AC于点D、E．求证：△BOD∽△BCO∽△OCE．

答案

证明：∵AO平分∠BAC，DE⊥AO，
∴∠DAO=∠EAO．
在△ADO和△AEO中，

∠DAO=∠EAO AO=AO ∠AOD=∠AOE

，
∴△ADO≌△AEO（ASA），
∴∠ADO=∠AEO，
∴∠BDO=∠OEC=90°+

1

2

∠BAC，
∴∠BOC=90°+

1

2

∠BAC，
∴∠BDO=∠OEC=∠BOC，
∵O是△ABC的内角平分线的交点，
∴∠1=∠2，
∴△DBO∽△OBC，
同理可得出：△BOC∽△OEC，
∴△DBO∽△EOC，
∴△BOD∽△BCO∽△OCE．

首先证明△ADO≌△AEO（ASA），进而得出∠BDO=∠OEC=∠BOC，即可得出△DBO∽△OBC，再求出△BOC∽△OEC，△DBO∽△EOC，即可得出答案．

本题考点：相似三角形的判定．

考点点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质和全等三角形判定与性质，根据已知得出∠BDO=∠OEC=∠BOC是解题关键．