关于x的一元二次方程x2-3x+k+1=0的两根的平方和小于5，求k的取值范围．

题目

关于x的一元二次方程x²-3x+k+1=0的两根的平方和小于5，求k的取值范围．

答案

设关于x的一元二次方程x²-3x+k+1=0的两根x₁、x₂，则x₁+x₂=3，x₁•x₂=k+1．
∵关于x的一元二次方程x²-3x+k+1=0的两根的平方和小于5，
∴x12+x22＜5，即( x1+x2) 2-2x₁•x₂=7-2k＜5，
解得，k＞1；
又∵关于x的一元二次方程x²-3x+k+1=0有两个实数根，
∴△=9-4k-4≥0，解得，k≤

5

4

，
综上所述，k的取值范围为：1＜k≤

5

4

．