过抛物线x^2=2py(p>0)的焦点F作倾斜角为30°的直线与抛物线分别交与AB两点

题目

过抛物线x^2=2py(p>0)的焦点F作倾斜角为30°的直线与抛物线分别交与AB两点
A在y轴左侧)则|AF|/|FB|=?

答案

若直线倾斜角为α,则其斜率为tanα,其方程为y-(p/2)=tanαx；
联立x²=2py；消去y得x-2ptanαx-p²=0；解得x=((sinα±1)/cosα)p；
∵A点在y轴左侧,∴|AF|/|FB|=|((sinα-1)/cosα)p|/((sinα+1)/cosα)p
=|sinα-1|/|sinα+1|=(1-sinα)/(1+sinα)；
即|AF|/|FB|=(1-sinα)/(1+sinα)=(1-sin30°)/(1+sin30°)=1/3.