设f（x）的一阶导在（a,b）内存在且有界,证明f（x）在（a,b）内有界

题目

设f（x）的一阶导在（a,b）内存在且有界,证明f（x）在（a,b）内有界

答案

用反证法：如果f（x）在（a,b）内无界,证明f′也无界.
取M＞0找C∈（a,b）,f′（c）＞M即可.
取d∈（a,b）,（ad],[db）中,必有一个使f无界.不妨设为[d,b）.
令N=（M+1）×（b-d）＋|f（d）|.
存在e∈[d,b）使f（e）＞N.在[d,e]上用Lagrange公式.存在c∈（d,e）.
f（e）－f（d）＝f′（c）（e-d）.
f′（c）＝｛f（e）－f（d）｝／（e-d）＞｛N－f（d）｝／（e-d）
≥｛N－f（d）｝／（b-d）≥M+1＞M.
∴f′（x）在（a,b）无界,矛盾.
∴f（x）在（a,b）有界.