正项数列满足,a0=0,a1=1,点p(根号an分之an+1,根号an分之an-1)在圆x^2+y^2=5/2,(n∈N*）

题目

正项数列满足,a0=0,a1=1,点p(根号an分之an+1,根号an分之an-1)在圆x^2+y^2=5/2,(n∈N*）
（1）求证：an+1 +an-1=5/2an （2）若bn=an+1 -2an,求证数列bn为等比数列

答案

1.
x=√[a(n+1)/an],y=√[a(n-1)/an]代入圆方程
a(n+1)/an +a(n-1)/an=5/2
a(n+1)+a(n-1)=(5/2)an
2.
a(n+1)+a(n-1)=(5/2)an
a(n+1)-2an=(1/2)an -a(n-1)=(1/2)[an-2a(n-1)]
[a(n+1)-2an]/[an-2a(n-1)]=1/2,为定值
a1-2a0=1-0=1 a2-2a1=(a1-2a0)(1/2)=1×(1/2)=1/2
数列{a(n+1) -2an}是以1/2为首项,1/2为公比的等比数列
bn=a(n+1)-2an,数列{bn}是以1/2为首项,1/2为公比的等比数列