求证:过三棱锥P-ABC的棱PA,PB,BC,AC的中点M.N.T.R的截面把该三棱锥的体积二等分

题目

求证:过三棱锥P-ABC的棱PA,PB,BC,AC的中点M.N.T.R的截面把该三棱锥的体积二等分

答案

由三角形中位线定理,有：PC∥NT,PC∥MR,∴AC∥面MNTR,
同理,有：AB∥MN,AB∥RT,∴AB∥面MNTR,
即面MNTR与PC、AB都平行,又面MNTR过PA、PB、BC、AC的中点,
∴PC、AB到面MNTR的距离相等,
∴P－MNTR和A－MNTR是同底等高的四棱锥,∴P－MNTR的体积＝A－MNTR的体积.······①
∵N是PB的中点,∴点P到面ABC的距离a是点N到面ABC的距离b的2倍,得：a＝2b.
∵T是BC的中点,∴△ABT的面积＝△ACT的面积
∵R是AC的中点,∴△CTR的面积＝△ACT的面积/2.
∴△ABT的面积＝2△CTR的面积.
∵P－CTR的体积＝△CTR的面积×a/3＝2b×△CTR的面积/3.
　N－ABT的体积＝△ABT的面积×b/3＝2b×△CTR的面积/3,
∴P－CTP的体积＝N－ABT的体积.······②
①＋②,得：P－MNTR的体积＋P－CTR的体积＝A－MNTR的体积＋N－ABT的体积.
上式的左右两边正是被MNTR分割的两部分体积,于是问题得证.