宽与长之比为5−12:1的矩形叫黄金矩形,黄金矩形令人赏心悦目,它给我们以协调,匀称的美感,如图,如果在一个黄金矩形里画一个正方形,那么留下的矩形还是黄金矩形吗?请证明你的

宽与长之比为5−12:1的矩形叫黄金矩形,黄金矩形令人赏心悦目,它给我们以协调,匀称的美感,如图,如果在一个黄金矩形里画一个正方形,那么留下的矩形还是黄金矩形吗?请证明你的

题目
宽与长之比为
5
−1
2
:1的矩形叫黄金矩形,黄金矩形令人赏心悦目,它给我们以协调,匀称的美感,如图,如果在一个黄金矩形里画一个正方形,那么留下的矩形还是黄金矩形吗?请证明你的结论.
答案
留下的矩形CDFE是黄金矩形.
证明:∵四边形ABEF是正方形,
∴AB=DC=AF,
又∵
AB
AD
5
−1
2

AF
AD
5
−1
2

即点F是线段AD的黄金分割点,
FD
AF
AF
AD
5
−1
2

FD
DC
5
−1
2

∴矩形CDFE是黄金矩形.
判断黄金矩形的依据是:宽与长之比为
5
−1
2
:1,判断出矩形DFEC的宽与长的比是不是
5
−1
2
:1,利用AB=DC=AF和
AB
AD
5
−1
2
,通过等量代换,求得
FD
DC
5
−1
2
,得到矩形CDFE是黄金矩形.

黄金分割.

要求熟练掌握多边形相似的比例关系.会利用相似比,求未知线段的长度或比值.如上题中的矩形ABCD与矩形DFEC相似.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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