设f(x)及g(x)在闭区间[a,b]上连续,证明：

题目

设f(x)及g(x)在闭区间[a,b]上连续,证明：
(1)若在[a,b]上,f(x)>=0, 且∫[a:b]f(x) dx=0,则在[a,b]上,f(x)≡0
（2）若在[a,b]上,f(x)>=0,且f（x）不恒等于0,则∫[a:b]f(x) dx大于0
（3）若在[a,b]上,f(x) ≤g（x）,且∫[a:b]f(x) dx=∫[a:b]g(x) dx,则在[a,b]上,f(x)≡g(x)
求解

答案

这三个题是等价的,只证明1
如果f不是0,那么存在一点d使得f(d)>0
由f的连续性,存在d的一个小邻域U(d,e) in [a,b]
f在U上>0
所以∫f≥∫(U) f>0,与∫f=0矛盾