已知x1＞0，x2＞0且x1+x2=1，求x1log2x1+x2log2x2的最小值．

题目

已知x₁＞0，x₂＞0且x₁+x₂=1，求x₁log₂x₁+x₂log₂x₂的最小值．

答案

设f（x）=xlog₂x+（1-x）log₂（1-x）（0＜x＜1），
则f′（x）=log₂x+log₂e-log₂（1-x）-log₂e=log2

x

1-x

，
当0＜x＜

1

2

时，0＜

x

1-x

＜1，f′（x）＜0，
当

1

2

＜x＜1时，

x

1-x

＞1，f′（x）＞0，
所以f(x)≥f(

1

2

)=-1，
所以x₁log₂x₁+x₂log₂x₂=f（x₁）≥-1，
且当x1=x2=

1

2

时，取“=”，
所以x₁log₂x₁+x₂log₂x₂的最小值是-1；