设f(x)、g(x)为整系数多项式,且g（x）首相系数为1,证明g（x）整除f(x)的充分必要条件是存在无穷多整数n使g（n）整除f（n）

题目

设f(x)、g(x)为整系数多项式,且g（x）首相系数为1,证明g（x）整除f(x)的充分必要条件是存在无穷多整数n使g（n）整除f（n）

答案

（1）
g(x)|f(x),那么对于任意的n都有,g(n)|f(n)
（2）
要证明多项式整除,一般采取验证它的余式为0.
要想有余式,那么要求f(x)的次数比g(x)要至少一样大.
下面证明.
既然有无穷多个整数都满足g(n)|f(n),根据皮亚诺公理,
那么一定存在充分大的整数满足g(n)|f(n).
假若def（g(x)）＞def（f(x)）,那么
可以取到足够大的整数,使得g(n)＞f(n),与已知条件矛盾.
于是证明了def（g(x)）≤def（f(x)）
那么可以按余式形式,设
f(x)=p(x)·g(x)+r(x),其中def（r(x)）≤def(g(x))
那么显然是有无穷多个n,使得
f(n)=p(n)·g(n)+r(n),
注意到,因为n是数字,
因而上面的式子不是多项式,是数字的带余数除法,那么我们可以作算术除法：
f(n)/g(n)-r(n)/g(n)=p(n)
注意到,p(n)一定是整数.
既然g(n)|f(n),
那么会有r(n)/g(n),并且存在无穷多个n都满足.
由def（r(x)）≤def(g(x)),
那么对于充分大的n,一定存在g(n)＞r(n)
只能r(x)=0
证明完毕.
【经济数学团队为你解答!】