求sin（a－2pai）sin（a－pai）－sin（5pai/2＋a）sin（3pai/2-a）的值已知tan a＝2

题目

求sin（a－2pai）sin（a－pai）－sin（5pai/2＋a）sin（3pai/2-a）的值已知tan a＝2

答案

sin（a－2pai）=-sin(2pai-a)=-sin(-a)=sina
sin（a－pai）=-sin(pai-a)=-sina
sin（5pai/2＋a）=sin(2pai+pai/2+a)=sin(a+pai/2)=cosa
sin（3pai/2-a）=sin(pai+pai/2-a)=-sin(pai/2-a)=-cosa
原式=sina*(-sina)-cosa*(-cosa)=cos^2a-sin^2a=cos2a
tana=2
因为:cosα=[1-tan(α/2)^2]/{1+[tan(α/2)]^2}
所以cos2a=[1-tan(α)^2]/{1+[tan(α)]^2} =(1-4)/(1+4)=-3/5
原式=-3/5