若a.b.c是不全相等的正数,求证:lga+b/2+lgb+c/2+lga+c/2>lg a+lg b+lg c.

若a.b.c是不全相等的正数,求证:lga+b/2+lgb+c/2+lga+c/2>lg a+lg b+lg c.

题目
若a.b.c是不全相等的正数,求证:lg
a+b
2
+lg
b+c
2
+lg
a+c
2
>lg a+lg b+lg c
答案
证明:∵a,b,c∈R+
a+b
2
ab
>0
b+c
2
bc
>0
a+c
2
ac
>0
…(4分)
又上述三个等式中等号不能同时成立
a+b
2
b+c
2
a+c
2
>abc成立.…(6分)
lg(
a+b
2
b+c
2
a+c
2
)>lgabc
lg
a+b
2
+lg
b+c
2
+lg
a+c
2
>lg a+lg b+lg c
.…(12分)
先根据基本不等式可得
a+b
2
ab
>0
b+c
2
bc
>0
a+c
2
ac
>0
,然后根据不等式的性质可得
a+b
2
b+c
2
a+c
2
>abc成立,两边同取常用对数,即可证得结论.

对数函数图象与性质的综合应用.

本题主要考查了对数函数性质的综合应用,以及基本不等式的应用,同时考查了转化的数学思想,属于中档题.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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