如图 正方形ABCD的对角线相交于O,过O作OE⊥OF分别交FC于E,BC于F,∠FEC的角平分线AC于P.

题目

如图 正方形ABCD的对角线相交于O,过O作OE⊥OF分别交FC于E,BC于F,∠FEC的角平分线AC于P.
（1）OE与OP的数量关系是______
（2）写出线段EF、PC、BC之间的数量关系式,并证明你的结论
（3）当∠EOF绕O点逆时针选择一个角度,使E、F落在CD、BC的延长线上,（2）中的结论是否成立,并证明.
把交FC改成交DC于E

答案

（1）OE=OP
(2) 二分之根二倍的EF + PC = 二分之根二倍的BC
证明如下
∠EOC+∠COF=∠BOF+∠COF 所以 ∠EOC=∠COF
又有∠ECO=∠FBO,OC=OB
所以 三角形COE 全等于 三角形 BOF
所以 OE=OF 所以,三角形EOF是等腰直角三角形
∠OEP=∠OEF+∠PEF=45°+∠PEF=45°+∠PEC=∠ECP+∠PEC=∠OPE
所以三角形OPE 中,有OE=OP
所以,OE+PC=OC
又有 OE=二分之根二倍的EF,OC=二分之根二倍的BC
所以有结论：二分之根二倍的EF + PC = 二分之根二倍的BC
（3）作图,可知（2）中结论并不成立.而有
二分之根二倍的EF - PC = 二分之根二倍的BC
证明方法基本同上,
最后代换哪一步为 OE-PC=OC（上一问中是OE+PC=OC）
本题主要考等腰三角形和正方形的边角关系.你把这两个点记牢,以后遇见这样的问题都会迎刃而解了