已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于（　　） A.3 B.4 C.32 D.42

题目

已知抛物线y=-x²+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于（　　）
A. 3
B. 4
C. 3

2

D. 4

2

答案

设直线AB的方程为y=x+b，由

y＝−x2+3 y＝x+b

⇒x²+x+b-3=0⇒x₁+x₂=-1，
进而可求出AB的中点M(−

1

2

，−

1

2

+b)，
又∵M(−

1

2

，−

1

2

+b)在直线x+y=0上，
代入可得，b=1，
∴x²+x-2=0，
由弦长公式可求出|AB|＝

1+12

12−4×(−2)

＝3

2

．
故选：C．

先设出直线AB的方程，与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理求得x₁+x₂的值，进而可求AB中M的坐标，代入直线x+y=0中求得b，进而由弦长公式求得|AB|．

本题考点：直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．