已知函数f（x）=x3+3ax-1，g（x）=f′（x）-ax-5，其中f′（x）是f（x）的导函数．若对满足-1≤a≤1的一切a的值，都有g（x）＜0，则实数x的取值范围是_．

题目

已知函数f（x）=x³+3ax-1，g（x）=f′（x）-ax-5，其中f′（x）是f（x）的导函数．若对满足-1≤a≤1的一切a的值，都有g（x）＜0，则实数x的取值范围是______．

答案

由题意g（x）=3x²-ax+3a-5
令φ（x）=（3-x）a+3x²-5，-1≤a≤1
对-1≤a≤1，恒有g（x）＜0，即φ（a）＜0
∴

φ(1)＜0 φ(−1)＜0

即

3x2−x−2＜0 3x2+x−8＜0

解得−

2

3

＜x＜1
故实数x的取值范围是(−

2

3

，1)，
故答案为：（−

2

3

，1）

将g（x）=3x²-ax+3a-5＜0对满足-1≤a≤1的一切a的值成立，转化为令（3-x）a+3x²-5＜0，-1≤a≤1成立解决．

本题考点：导数的运算．

考点点评：本题主要考查函数的单调性、导数的应用、解不等式等基础知识，以及推理能力、运算能力和综合应用数学知识的能力