设A,B均为正交矩阵,且|A|=－|B|,试证|A＋B|＝0

题目

设A,B均为正交矩阵,且|A|=－|B|,试证|A＋B|＝0

答案

（1） 由A,B均为正交矩阵 可得 AA'＝A'A＝E,BB'＝B'B＝E
则|AA'|=|A||A'|=|E|=1 |BB'|=|B||B'|=|E|=1
又 |A|=|A'| |B|=|B'| 则|A|=1或者-1 |B|=1或者-1 可得
|A||A|=|AA|=1=|E| |B||B|=|BB|=1=|E| 即 AA=BB=E
又 |A|=－|B| 可得|A||B|=|AB|=-1=-|E|=|-E| 即AB=-E
所以：
|A+B||A+B|=|(A+B)(A+B)|=|AA+AB+BA+BB|=|E-E-E+E|=|0|=0
则|A+B|=0