已知集合A＝｛（x,y)|y=x-2,x属于正整数},B={(x,y)|y=a(x^2-x+1),x 属于正整数}是否存在非零整数a

题目

已知集合A＝｛（x,y)|y=x-2,x属于正整数},B={(x,y)|y=a(x^2-x+1),x 属于正整数}是否存在非零整数a
使A∩B≠空集,若存在,求出A∩B,若不存在,说明理由

答案

若A∩B≠空集,则方程组{y=-3x+2,
{y=a(x^2-x+1) 有解.
消去y,的关于x的方程ax^2+(3-a)x+a-2=0的两个根中至少有一个为正整数.
由 跟得判别式=(3-a)^2-4a(a-2)=9+2a-3a^2≥0,得-2＜(1-2根号7)/3≤a≤(1+2根号7)/3＜3
∵a∈Z,且a≠0,∴a=-1或a=2.
当a=1时,x=-1加减根号2(舍去);
当a=-1时,x=3或x=1符合题意;
当a=2时,x=0或x=-1/2(舍去)
故存在整数a=-1,使A∩B≠空集.