已知直线x-2y=-k+6和x+3y=4k+1，若它们的交点在第四象限内． （1）求k的取值范围； （2）若k为非负整数，点A的坐标（2，0），点P在直线x-2y=-k+6上，求使△PAO为等腰三角形

题目

已知直线x-2y=-k+6和x+3y=4k+1，若它们的交点在第四象限内．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为非负整数，点A的坐标（2，0），点P在直线x-2y=-k+6上，求使△PAO为等腰三角形的点的坐标．

答案

（1）由题可得：

x−2y＝−k+6 x+3y＝4k+1

，
解得：

x＝k+4 y＝k−1

，
∴两直线的交点坐标为（k+4，k-1），又∵交点在第四象限，
∴

k+4＞0 k−1＜0

，
解得：-4＜k＜1；
（2）由于k为非负整数且-4＜k＜1，
∴k=0，
此函数的解析式为：x-2y=6．
直线x-2y=6与y轴的交点坐标为：（0，-3），与x轴交点坐标为（6，0），
∵A（2，0），
∴AO=2，
∵2＜3，
若OP=AP，则点P的横坐标为1，代入x-2y=6，可得y=-

5

2

，
∴可得P₁点坐标为（1，-

5

2

）；
设P（2y+6，y），
若OA=OP，则（2y+6）²+y²=4，此时无解；
若OA=AP，则（2y+6-2）²+y²=4，
解得：y=-2或y=-

6

5

，
∴P₂（2，-2）或P₃（

18

5

，-

6

5

）．

根据已知直线x-2y=-k+6和直线x+3y=4k+1，解出交点坐标，根据交点在第四象限即可解出k的范围，再根据k为非负整数确定k的值后即可得出答案．

本题考点：两条直线相交或平行问题．

考点点评：本题考查了一次函数与一元一次不等式及解二元一次方程，属于基础题，关键是先求出交点确定k的坐标，再根据已知条件求解．