在三角形ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若其面积S=1/4+(b^2+c^2-a^2),若a=10,则bc的最大值是

题目

在三角形ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若其面积S=1/4+(b^2+c^2-a^2),若a=10,则bc的最大值是

答案

面积S=1/2bcsinA=1/4+(b²+c²-a²)
由余弦定理知道b²+c²-a²=2bccosA
∴S=1/2bcsinA=1/4+(b²+c²-a²)=1/4+2bccosA,即
1/2bcsinA=1/4+2bccosA
2bcsinA=1+8bccosA
2bc(sinA-4cosA)=1
bc=1/[2(sinA-4cosA)]
令bc=f(A)=1/[2(sinA-4cosA)],
函数f(A)=1/[2(sinA-4cosA)],等式两边同时对A求导,并令其=0,求得唯一极值点,
f'(A)=1/2*(cosA+4sinA)/(sinA-4cosA)²=0,因为分母为完全平方式,且分母不能为零,必须分子为零.即
(cosA+4sinA)=0,化简可得
tanA=-1/4,即
tanA=-1/4时,bc取得最大值,其值为
bc=1/[2(sinA-4cosA)]
=1/[2(sinA-4cosA)]
=1/[(2cosA)*(tanA-4)]
=1/2*(1/cosA)*[1/(tanA-4)]
=1/2*(secA)*[1/(tanA-4)]
=1/2*sqrt(sec²A)*[1/(tanA-4)]
=1/2*sqrt(1+tan²A)*[1/(tanA-4)] 将极值点tanA=1/4代入可得
=1/2*sqrt[1+(-1/4)²]*{1/[-1/4-4]}
=1/2*sqrt[1+(1/16)]*{1/[-17/4]}
=1/2*1/4sqrt(17)*(-4/17)
=-1/34sqrt(17)
计算过程和答案均与a的取值不相干.
本想附上余弦定理推导过程以利于理解,但“图片”功能受网络影响,没法使用,回答有些缺陷,请见谅.
若看不懂,请继续追问.