设m为实数,函数f(x)=2x^2+(x-m)|x-m|,h(x)=f(x)/x x不等于0 0x=0 (1)若f(1)>=4,求m的取值范围(2)当m
题目
设m为实数,函数f(x)=2x^2+(x-m)|x-m|,h(x)=f(x)/x x不等于0 0x=0 (1)若f(1)>=4,求m的取值范围(2)当m
当m>0时,求证h(x)在[m,+∞)上是单调递增函数
答案
(1)f(x)=2x^2+(x-m)|x-m|
①x>m时
f(x)=2x^2+(x-m)^2
f(1)=2+(m-1)^2≥4,(1>m)
解得m<1-√2,m>1+√2,m<1
所以得到m<1-√2
②x<m时
f(x)=2x^2-(x-m)^2
f(1)=2-(m-1)^2≥4,(1<m)
无解 舍去
③x=m=1时
f(1)=2与f(1)>=4不符
舍去
综上①②③所诉m<1-√2
(2)f(x)=2x^2+(x-m)|x-m|
①x>m>0时
f(x)=2x^2+(x-m)^2
h(x)=3x+(m^2/x)-2m
可知此为对构函数
在(0,√3m/3]递减,(√3m/3,+∞)递增
因为m>0,所以√3m/3<m
所以在[m,+∞)上是单调递增函数
②x<m时
f(x)=2x^2-(x-m)^2
h(x)=x-(m^2/x)+2m
y=x恒增,y=-(m^2/x)在(-∞,0),(0,+∞)递增
所以h(x)=x-(m^2/x)+2m在(-∞,0),(0,+∞)递增
m>0,所以在[m,+∞)上是单调递增函数
③x=m时
f(x)=2x^2
h(x)=2x是递增函数
所以在[m,+∞)上是单调递增函数
综上①②③所诉h(x)在[m,+∞)上是单调递增函数
举一反三
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