【二次函数f(x)=x^2+bx+c无论β,α为何实数恒有f(sinα)≥0,f(2+cosβ)≤0,证c≥3】

题目

【二次函数f(x)=x^2+bx+c无论β,α为何实数恒有f(sinα)≥0,f(2+cosβ)≤0,证c≥3】
二次函数f(x)=x^2+bx+c无论β,α为何实数恒有f(sinα)≥0,f(2+cosβ)≤0,证c≥3
过程

答案

因为无论β,α为何实数恒有f(sinα)≥0,f(2+cosβ)≤0,所以我们可以令sina=1,cosβ=-1,于是有f(1)>=0,f(1)<=0,所以有f(1)=0,故有1+b+c=0即b=-(c+1),同样我们可以令sina=-1,cosβ=1,于是有f(-1)>=0,f(3)<=0将b=-(c+1)代入到f(3)<=0中得,f(3)=9+3b+c=9+c-3c-3=6-2c<=0可以解得c>=3