在平面上给定一个△ABC，试判断平面上是否存在这样的点P，使得线段AP的中点为M，线段BM的中点为N，线段CN的中点为P？若存在，这样的点P有几个？若不存在，说明理由．

题目

在平面上给定一个△ABC，试判断平面上是否存在这样的点P，使得线段AP的中点为M，线段BM的中点为N，线段CN的中点为P？若存在，这样的点P有几个？若不存在，说明理由．

答案

平面上是否存在这样的点P，只有一个．
作l∥AC，使l与AC的距离等于AC上高的

2

7

，
作m∥BC，使m与BC距离等于BC上高的

1

7

，交点为P，
AP中点M，连结BM，连结CP，延长交BM于N，
则点P为所求的点．

证明：如图，S₁=S₂=

1

7

S_△ABC=S₃，
S4＝S5+S6＝

1− 3 7

2

＝

2

7

，
S₂，S₃同底PC，它们在PC上的高相等，
S₂，S₃在PC上的高相等，也是S₅，S₆在PN上的高，
S5＝S6＝

1

7

，
S₅，S₆的高=P到BM的距离，故BM=MN，
S₅=S₃，故CP=PN．

平面上是否存在这样的点P，只有一个．作l∥AC，使l与AC的距离等于AC上高的

2

7

，作m∥BC，使m与BC距离等于BC上高的

1

7

，交点为P，点P为所求的点．

本题考点：空间中直线与平面之间的位置关系．

考点点评：本题考查满足条件的点的判断与求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．