已知RT三角形ABC的斜边AB=1,以AC为边长作正方形ACDE,求SRT△ABC+S正ACDE的最大值

题目

已知RT三角形ABC的斜边AB=1,以AC为边长作正方形ACDE,求SRT△ABC+S正ACDE的最大值

答案

由于Rt△ABC斜边AB=1,故了设直角边AC=sina,BC=cosa,AC²+BC²=sin²a+cos²a=1=AB².
而S△ABC+S□ACDE=0.5AC·BC+AC²=0.5sinacosa+sin²a=0.25sin2a+0.5-0.5cos2a=√(0.25²+0.5²)sin(2a+arctan2)+0.5=(√5)sin(2a+arctan2)/4+0.5,由于正弦函数sinx最大只能为1,所以整个式子的最大值为[(√5)+2]/4.通过sin(2a+arctan2)=1可反解出此时的AC长度.
设AC=b,BC=a,AB=1,勾股定理可解a=√(1-b²),整个图形面积S=0.5ab+b²=0.5b·√(1-b²)+b²=0.5√[b²(1-b²)]+b².可以令x=b²,则原式=0.5√(x-x²)+x=0.5√(-x²+x-1/4+1/4)+x=0.5√[0.25-(x-0.5)²]+x……这个题配方法求最大值有点困难,因为根式中的二次函数不是单调函数,在x＞0.5的时候,根式中的二次函数单调递减,而x是单调递增函数,通过这样的配方法如果不把最后的x配进去,算出的结果无法证明是最大……遇到这样的情况一般是用函数求导,拉格朗日判别式求最值.我觉得这题用初中的办法太难了,高中方法就像⒈那么解,而拉格朗日判别式是大学高等数学的内容.