已知f(x)=tan(2x+π3),若f(x+α)是奇函数,则α应满足什么条件?并求出满足|α|<π2的α值?

已知f(x)=tan(2x+π3),若f(x+α)是奇函数,则α应满足什么条件?并求出满足|α|<π2的α值?

题目
已知f(x)=tan(2x+
π
3
),若f(x+α)是奇函数,则α应满足什么条件?并求出满足|α|<
π
2
的α值?
答案
∵f(x)=tan(2x+
π
3
),
∴f(x+α)=tan[2(x+α)+
π
3
]=tan(2x+2α+
π
3
),
要使f(x+α)是奇函数,
则2α+
π
3
=kπ,k∈Z
∴α=
2
π
6

若|α|<
π
2

则当k=0时,α=−
π
6

k=1时,α=
π
2
π
6
π
3
求出f(x+α)的表达式,利用f(x+α)是奇函数,建立条件关系即可得到结论.

正切函数的图象.

本题主要考查正切函数的图象和性质,根据条件求出f(x+α)的表达式是解决本题的关键,要求熟练掌握正切函数的图象和性质.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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