如图，在▱ABCD中，O是AC与BD的交点，过点O的直线分别与AB、CD的延长线交于点E、F．当AC与EF满足什么条件时，四边形AECF是菱形？请给出证明．

题目

如图，在▱ABCD中，O是AC与BD的交点，过点O的直线分别与AB、CD的延长线交于点E、F．当AC与EF满足什么条件时，四边形AECF是菱形？请给出证明．

答案

答：当AC⊥EF时，四边形AECF是菱形，
证明：∵在□ABCD，AO=CO，BO=DO，AB∥CD，
∴∠AEO=∠CFO．
在△EBO与△FDO中

∠AEO＝∠CFO ∠EOB＝∠FOD BO＝DO

∴△EBO≌△FDO（AAS），
∴EO=FO，
又∵AO=CO，
∴四边形AECF是平行四边形．
∴AC⊥EF时，平行四边形AECF是菱形．

先证△EBO≌△FDO，推出EO=FO，得出四边形AECF是平行四边形，再根据菱形的判定推出即可．

本题考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．

考点点评：本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质和判定，菱形的判定，全等三角形的性质和判定的应用，注意：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．