在梯形ABCD中,AB//CD,M、N分别为CD和AB的中点,且MN⊥AB.试说明四边形ABCD是等腰梯形

题目

在梯形ABCD中,AB//CD,M、N分别为CD和AB的中点,且MN⊥AB.试说明四边形ABCD是等腰梯形

答案

过A作AE垂直CD于E,过B作BF垂直CD于F
因为 AE垂直CD,BF垂直CD,MN垂直AB
所以 AE//BF//MN,角BFC=角AED=90度
因为 AB//CD
所以 BFMN,NMEA是矩形
所以 BF=AE,BN=FM,AN=ME
因为 N是AB的中点
所以 AN=BN
因为 BN=FM,AN=ME
所以 FM=ME
因为 M是CD的中点
所以 CM=MD
因为 FM=ME
所以 CM-FM=MD=ME
所以 CF=ED
因为 角BFC=角AED=90度,BF=AE
所以 三角形BCF全等于三角形ADE
所以 BC=AD
所以 梯形ABCD是等腰梯形