二次函数y=x^2+bx+c,交x轴负半轴A,正半轴B,y轴C(0,-3),且OB=OC

题目

二次函数y=x^2+bx+c,交x轴负半轴A,正半轴B,y轴C(0,-3),且OB=OC
1.解析式
2.若顶点M,求AM长
3.设p是二次函数图象对称轴一动点,求AP+CP的取值范围

答案

 

(1)∵C(0,-3),

∴OC＝3

∵OB=OC

∴OB＝3,

又∵点B在X轴正半轴,

∴点B的坐标是（3,0）

将C(0,-3),B（3,0）代入y=x²+bx+c,

得 {c=-3

      9+3b+c=0

解得：{b=-2

            c=-3

∴二次函数的解析式是y=x²-2x-3

 

(2)∵y=x²-2x-3＝(x-1)²-4

∴抛物线的顶点为M（1,-4）,则抛物线的对称轴为直线X＝1

设抛物线的对称轴与X轴交于点D,则D（1,0）

∴AD＝2,DM＝4

连接AM,则在Rt△AMD中,由勾股定理,得

AM²＝AD²+DM²＝2²+4²＝20

∴AM＝√20＝2√5.

 

（3）连接BC,则BC＝√(OC²+OB²)=√(3²+3²)=3√2

设BC交抛物线的对称轴于点E,则AE+CE就是AP+CP的最小值,

即AP+CP的最小值就是BC＝3√2,

∴AP+CP≥3√2.