已知3阶实对称矩阵A每一行的和均为3,且其特征值均为正整数,|A|=3,求矩阵A

题目

已知3阶实对称矩阵A每一行的和均为3,且其特征值均为正整数,|A|=3,求矩阵A

答案

因为3阶实对称矩阵A每一行的和均为3
所以3是A的一个特征值,(1,1,1)'是A的属于特征值3的特征向量
又因为|A|=3 是A的所有特征值的乘积
而A的特征值均为正整数
所以A的特征值为3,1,1.
由实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交
记 (x1,x2,x3)'是A的属于特征值1的特征向量
则 x1+x2+x3=0
(1,-1,0)',(1,1,-2)' 是其一个正交的基础解系
单位化得 α1=(1/√3)(1,1,1)',α2=(1/√2)(1,-1,0)',α3=(1/√6)(1,1,-2)'
令P=(α1,α2,α3),则 P^-1AP = diag(3,1,1)
A=Pdiag(3,1,1)P^-1 = Pdiag(3,1,1)P' =
5/3 2/3 2/3
2/3 5/3 2/3
2/3 2/3 5/3