设直线系M:xcosθ+(y-2)sinθ=1(0≤θ≤2π),则下列命题中是真命题的个数是( )①存在一个圆与所有直线相交;②存在一个圆与所有直线不相交;③存在一个圆与所有直线相切;④M中
题目
设直线系M:xcosθ+(y-2)sinθ=1(0≤θ≤2π),则下列命题中是真命题的个数是( ) ①存在一个圆与所有直线相交; ②存在一个圆与所有直线不相交; ③存在一个圆与所有直线相切; ④M中所有直线均经过一个定点; ⑤不存在定点P不在M中的任一条直线上; ⑥对于任意整数n(n≥3),存在正n边形,其所有边均在M中的直线上; ⑦M中的直线所能围成的正三角形面积都相等. A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
答案
根据直线系M:xcosθ+(y-2)sinθ=1(0≤θ≤2π)得到所有直线都为圆心为(0,2),半径为1的圆的切线;
可取圆心为(0,2),半径分别为2,
,1得到①②③正确;所有的直线与一个圆相切,没有过定点,④错;存在(0,2)不在M中的任一条直线上,所以⑤错;存在等边三角形的三边都在M中的直线上,⑥对,可取圆的外接正三角形其所有边均在M中的直线上且面积相等;⑦可以做在圆的三等分点做圆的切线,把其中一条平移到另外两个点中点时,可知⑦错误;故①②③⑥正确,④⑤⑦错,所以真命题的个数为4个
故选:B
根据已知可知直线系M都为以(0,2)为圆心,以1为半径的圆的切线,取半径为2即可得到所以①对;存在圆心为(0,2),半径为
的圆与直线都不相交,所以②对;③显然对;④错;⑤错,存在可取一点(0,2)即可验证;⑥,⑦可去三角形的外接正三角形所有边均在M中的直线上且面积相等,所以⑥⑦都正确.
本题考点: 直线的斜截式方程.
考点点评: 考查学生利用直线的斜截式方程得到直线系M为平面内除过一个圆的区域.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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