函数方程题

题目

函数方程题
f(x)的平方—f(y)的平方=f(x-y)×f(x+y)
求f(x)的解析式
这题是我自己编出来的,因为最近看到一个式子：(sinx)的平方-(siny)的平方=sin(x+y)sin(x-y),与平方差公式很相像,于是我还想知道这个方程还有多少解.
一时好奇,想请各位帮个忙,
另解：f(x)=kx(k属于R)
这两个函数不是同一类型，却是同一个方程的解，这里面好像大有文章
请回答者说明具体证法

答案

f(x)=kx（k≠0）
f（x）=sinx
f(x)=0
以上是正解；
思路：可以将自己知晓的函数带入穷举（笨办法,思维要求低）
或用柯西证明法（巧办法,思维要求高）