已知函数f(x)＝2sin2(π4+ωx)−3cos2ωx−1(ω＞0)的最小正周期为2π3 （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）若不等式|f（x）-m|＜2在x∈[π6，π2]上恒成立，求实数m的取值范围．

题目

已知函数f(x)＝2sin2(

π

4

+ωx)−

3

cos2ωx−1(ω＞0)的最小正周期为

2π

3

（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）若不等式|f（x）-m|＜2在x∈[

π

6

，

π

2

]上恒成立，求实数m的取值范围．

答案

（Ⅰ） f(x)＝2sin2(π4+ωx)−3cos2ωx−1=−cos(π2+2ωx)−3cos2ωx=sin2ωx−3cos2ωx=2sin(2ωx−π3)(ω＞0)2分f（x） 的最小正周期为2π3，∴2π2ω=2π3，∴ω＝32…4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f(x)＝2sin(3x−π...

（I）利用二倍角公式降次升角，通过两角和的正弦函数化为一个角的一个三角函数的形式，根据周期公式求ω；
（II）结合x 的范围求出表达式相位的范围，确定表达式的范围，求出最值，利用不等式恒成立确定m 的范围即可．

本题考点：函数恒成立问题；三角函数的化简求值；正弦函数的定义域和值域．

考点点评：本题是中档题，考查三角函数的化简，周期的求法，函数的闭区间上的最值问题，考查发现问题解决问题的能力，考查计算能力，常考题型．