已知f(x)是实数集R上的函数,且对任意x属于R,f(x)=f(x+1)+f(x-1)恒成立

题目

已知f(x)是实数集R上的函数,且对任意x属于R,f(x)=f(x+1)+f(x-1)恒成立
1.求证f(x)是周期函数
2.已知f(3)=2,求f(2010)

答案

1)证明：
因为f(x)=f(x+1)+f(x-1)
所以f(x+1)=f(x+2)+f(x)
两式相加整理可得f(x+2)=-f(x-1)
所以f(x+3)=-f(x)
所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x)
所以f(x)是周期为6的函数
f(2001)=f(3+1998)=f(3+333*6)=f(3)=2
所以f(2004)=-f(2001)=-2
f(2010) =f(2004)=-f(2001)=-2