X(n)=(n^k)/(a^n) 的极限

题目

X(n)=(n^k)/(a^n) 的极限

答案

极限为0
洛必达法则上下同时求导到分子没有n即可
|q|<1,故可设|q|=1/(1+x),x>0
设f(x)=(1+x)^n,由泰勒公式可知,
f(x)=(1+x)^n=f(0)+f'(0)x+f''(0)*x^2/2!+f'''(0)*x^3/3!+Rn(x)
因为x>0,0<ξ0
∴f(x)>f'''(0)*x^3/3!=n(n-1)(n-2)x^3/3!>n^2(n-3)x^3/6
∴|q|^n=1/(1+x)^n<1/[n^2(n-3)x^3/6]=6/n^2(n-3)x^3
∴|n^2*q^n-0|=|n^2|*|q^n|任取一个正数ε,令6/(n-3)x^3<ε,得n>6/εx^3+3
取N=[6/εx^3+4],则当n>N时,必有
|n^2*q^n-0|<6/(n-3)x^3<ε
由ε的任意性可知,n趋于∞时n^2*q^n的极限为0
命题得证