若A,B为n阶方阵,A^T A=I,B^T B=I,且|A|=-|B|,则A+B必为奇异矩阵

题目

若A,B为n阶方阵,A^T A=I,B^T B=I,且|A|=-|B|,则A+B必为奇异矩阵
怎么写过程?谢谢~

答案

因为 A^T A=I,B^T B=I所以 |A|=正负1,|B|=正负1又由已知 |A|-|B|所以 |A||B|=-1所以 |A^T||B^T|=-1所以 -|A+B|= |A^T||A+B||B^T|= |A^T(A+B)B^T|= |A^TAB^T+A^TBB^T|= |B^T+A^T|= |(A+B)^T|= |A+B|所以有 2|A+B| = 0...