设f（x）=x（ax2+bx+c）（a≠0）在x=1和x=-1处有极值，则下列点中一定在x轴上的是（　　） A.（a，b） B.（a，c） C.（b，c） D.（a+b，c）

题目

设f（x）=x（ax²+bx+c）（a≠0）在x=1和x=-1处有极值，则下列点中一定在x轴上的是（　　）
A. （a，b）
B. （a，c）
C. （b，c）
D. （a+b，c）

答案

∵f（x）=x（ax²+bx+c）=ax³+bx²+cx，
∴f′（x）=3ax²+2bx+c，
∵f（x）在x=1和x=-1处有极值，
∴1，-1是方程3ax²+2bx+c=0的两根，
∴1+（-1）=-

2b

3a

，

c

3a

=-1，故b=0，c=-3a≠0；可排除B、C、D．
故选A．

根据题意先对f（x）=x（ax²+bx+c）求导，导函数为二次函数，再利用韦达定理求得b=0，从而可解决问题．

本题考点：根与系数的关系；函数在某点取得极值的条件．

考点点评：本题考查根与系数的关系及函数在某点取得极值的条件，着重考查根与系数的关系中韦达定理的使用，属于中档题．